賽為斯聲學大講堂丨振動學_蘇州賽為斯環境科技

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賽為斯聲學大講堂丨振動學

文章出處：技術資訊網責任編輯admin 閱讀量：發表時間：2020-12-30 11:01

聲學 (acoustics) 是物理學的分支之一，《聲學基礎》從聲源的振動特性、聲波在自由空間傳播特性、聲波在管道中的傳播特性、聲波的輻射以及聲波的接收，做了詳細的介紹。
何為聲學的本質？“傳聲媒質質點產生的一系列力學振動的傳遞過程”。可以發現，這里有兩個關鍵點，一是媒質，二是振動。通俗地講，聲源振動，然后帶動周圍的媒質振動，周圍的媒質帶動更遠處的媒質振動，由近及遠，這就是聲振動的傳播過程。
質點振動學
本節主要討論振動體（聲源）的振動特點。考慮振動物體的尺度遠小于波長（振動一次傳播的距離），即各部分的運動狀態基本相同的情況，此時可以將振動物體看成集中參數模型進行分析。此時振動狀態僅與時間t有關，故數學模型是常微分方程。
1. 自由振動
首先分析自由振動的物體，可以通過牛二推導出其振動方程，其解是按固有頻率進行的簡諧振動。

其對應的物理是如果物理有初始條件，或者在0時刻給了一個沖擊，那么它就會按照其固有頻率進行簡諧振動。
2. 衰減振動
然后，考慮到實際物體在振動時會存在阻尼，阻力可能來自粘滯摩擦（向熱能轉化），亦或是來自周圍媒質的反作用（輻射聲能），故其振動方程要引入阻力項。此時解會有兩種情況，阻尼較小時做振幅指數減小的簡諧振動（振動頻率會小于固有頻率），阻尼過大時不再進行簡諧振動。
3. 強迫振動
最后，分析的是強迫振動。強迫振動，顧名思義是存在一個外力，施加于振動物體。此時，振動方程變成非齊次常微分方程，這類方程的解由通解和特解組成，從信號與系統的角度講叫零輸入響應和零狀態響應，而聲學基礎里稱為自由響應和穩態響應。我們知道自由響應是指數衰減的，所以經過一段時間后即可忽略不計，物體的振動狀態最終由穩態響應來反應。
我們假設外力是一個頻率為f0 的簡諧力，那么穩態響應將是頻率為f0 的簡諧振動，其位移振幅應為Fa/ω0∣Zm∣，很明顯這是一個與頻率相關的函數。同理，其速度振幅，加速度振幅也同樣是頻率相關的函數。
不同的頻段，振幅的頻率特性不同，我們主要利用三種頻段范圍：
第一種是，共振峰附近的頻帶，此處很小的外力就能激發很強的振動，進而輻射更大的聲功率，例如換能器。
第二種是，具有均勻（平坦）的頻率響應的頻帶，此處可以保證輸入輸出不失真，例如電聲設備中。
第三種是，頻響很弱的頻帶，此處外力作用下輸出的振動幅度很小，例如隔振系統中要保證強外力作用下系統振動依然很微弱。
位移振幅、速度振幅，加速度振幅的平坦區不同。位移位于低頻，此時其振幅可以近似成Fa/Km，稱為彈性控制區；速度位于共振峰附近，此時其振幅可以近似成Fa/Rm，稱為力阻控制區；加速度位于高頻，此時其振幅可以近似成Fa/Mm，稱為質量控制區。在電聲設備中，力學端與電學端耦合時使用的是哪個物理量，則其平坦區對應的頻段。
上面我們討論的是單頻外力作用的強迫振動方程，那么針對任意外力呢？當然是傅里葉分解成單頻外力的疊加啊！周期性外力用傅里葉級數分解，非周期性外力用傅里葉逆變換分解。這就是經典的信號與系統中針對零狀態響應最經典的求法。數學上看，振動方程就是個常微分方程，那也就是個線性時不變系統，這樣求解當然沒有問題。求得每一個單頻外力的響應后，疊加即可得到最終的穩態響應。

附上經典框圖：線性、分解、合成

彈性體振動學
本節內容考慮振動物體尺寸與波長相比擬，即各位置運動狀態不同，此時要看成分布參數系統進行分析。此時振動狀態既與空間位置x，時間變量t有關，故數學模型是偏微分方程。
1. 弦振動
弦振動是把具有一定質量的細繩張緊，以張力作為恢復力進行的振動。
取弦上的一個微元，計算兩端張力在垂直方向上的合力，根據牛二列出運動方程，消去微小量即可得到弦振動方程。其數學形式是波動方程，其中c=√T/δ 是波動的傳播速度。
根據數理方法中的達朗貝爾方法，我們知道波動方程的一般解是兩個不同方向傳播的波函數，由于邊界條件的存在（弦的兩端被固定）傳播會被反射，所以弦上的任何位置都同時存在正向波和反向波，有界弦上形成駐波。
針對兩端固定的弦振動，利用駐波法求解弦振動方程可以得到解的具體形式，是由各階簡正模態疊加的形式，即若給定初始條件或者在0時刻給一激勵的自由響應。每一號簡正模態空間上呈現三角函數式的幅度分布，時間上呈現的簡諧振動，與其簡正頻率相關。

而不同簡正模態的系數可以同過初始條件（初位移 or 初速度）去求得，因為不同號模態是正交的，所以求解時很方便。
需要注意的是，這里的邊界條件是兩端固定，即位移為0，不同的邊界條件會產生不同的簡正模態，如果是質量負載邊界條件的話，會出現非諧頻。
2. 棒振動
此處僅討論棒的縱振動，其恢復力主要由其勁度（彈性）產生，其實縱振動的物理過程與聲波的傳播過程非常類似。
在棒上取一微元，計算其單位長度上的伸縮量（應變），利用虎克定律（應力正比于應變）即可算出不同位置處的受力大小，再對其列運動方程，消去微小量后就能得到棒的縱振動方程，其數學形式同樣是波動方程，其中

棒的縱振動的數學形式跟弦振動的數學形式一模一樣，那么可以預料到其自由響應的形式也與弦振動一模一樣，也是簡正模態疊加的形式。
這里我們分析一種新的邊界條件，“一端自由，另一端受簡諧外力”。此時的棒振動不再是多個簡正模態疊加了，而是只有同外力頻率相同的振動模式。類似于集中參數模型，如果外力頻率與簡正頻率相同，則會形成共振（振幅非常大），因為分布參數系統存在多個簡正頻率，所以會有多個共振峰。
3. 膜振動
膜振動的恢復力主要是張力。因為膜是二維的，取一體積微元，類似于弦振動，在x 方向和y 方向分別列出運動方程，注意這里的T 為單位長度上的力，可以得到膜振動方程。其數學形式是波動方程，其中

我們考慮膜對稱振動的自由響應，此時選取柱坐標系求解振動方程。通過駐波法可以得到解同樣為各號簡正模態的疊加，每一號簡正模態空間上沿徑向的振幅以0階貝塞爾函數J0(knr) 形式變化，時間上是簡諧振動，且與簡正頻率有關，這里的簡正頻率不再是倍頻的關系，而是由0階貝塞爾函數的一系列零點決定。
此外，需要了解的是，直角坐標系下三角函數是駐波解，e 指數函數是行波解；柱坐標系下，柱貝塞爾函數是駐波解，柱漢克爾函數是行波解；球坐標系下，球貝塞爾函數是駐波解，球漢克爾函數是行波解；物理上，兩個方向相反，幅值相同的行波疊加形成的是駐波。
然后再來討論一下膜的強迫振動，假設膜的表面受到一個處處相等的簡諧力，此時振動方程變為一非齊次偏微分方程。時間上為簡諧振動，振動頻率與簡諧力相同，故波動方程可退化為一非齊次常微分方程，自變量為r（其實，這也可以理解為對非齊次偏微分方程作一傅里葉變換的操作）。該部分的解可以由通解+特解組成，通解如上，是一0階貝塞爾函數J0(k0r)，k0 由簡諧力頻率決定；特解是一常數；兩者疊加的結果需要滿足邊界條件，即：

可以發現，如果強迫力的頻率正好與膜的簡正頻率相等，此時會發生共振，同樣會存在多個共振峰。如果膜的尺度很小（相當于橫坐標截距左移）或是振動頻率很低（相當于曲線變寬），那么幅值在 [0,a] 上變化會很小，說明各部分運動狀態幾乎相同，即可近似看作集中參數模型。
如果考慮阻尼的話，即引入一項位移的一次導數項，此時引入復波數便可繼續化簡為亥姆霍茲方程，負虛部代表衰減。

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